1
2
3
3 : 2纯五度
整数比例越简单
声音越容易彼此融合
振动×时间×关系=音乐
01 / 时间
节奏，是时间的分数。
一拍不是一个点，而是一段可以被平均切开的时间。二分、三分、四分，会形成完全不同的身体感。
1 拍÷2=1/2 拍
2 个等距脉冲，在下一拍重新相遇
02 / 振动
音高，是空气振动的速度。
每秒振动 440 次就是 440 Hz。频率翻倍，听起来不是“高一倍”，而是升高一个八度。
基音220Hz
× 2
目标音440Hz
03 / 指数
十二平均律，是把“翻倍”均匀走完。
一个八度分成 12 步，每一步都乘以同一个数：21/12。所以钢琴的音高不是等差数列，而是等比数列。
440 × 27/12 = 659.26 Hz
04 / 循环
十二个音，住在一只时钟里。
超过第 11 格，就重新回到第 0 格。这叫“模 12”。移调不是搬运音符，而是在圆环上整体旋转。
C + 7 ≡ G (mod 12)
点选时钟上的任意起点，再拖动滑块。所有数字最终都会回到这 12 个位置。
05 / 集合
和弦，是音高组成的集合。
换一个数字，明亮就会变忧郁；所有数字一起平移，和弦身份仍然不变。
当前集合
{ 0, 4, 7 }
C 大三和弦
06 / 叠加
音色，是很多正弦波的配方。
同一个 A，在钢琴和长笛上不一样，不是基音变了，而是泛音的比例和时间轮廓不同。
07 / 干涉
两个很近的音，会“呼吸”。
440 Hz 和 442 Hz 相遇，每秒会出现 2 次强弱起伏。调音师听的，就是这个差值。
2次 / 秒
| 440 − 442 | = 2 Hz
08 / 对称
旋律，也可以平移、倒影和逆行。
音乐家像几何学家一样变换主题：保持关系，改变方向、顺序或尺度。
现在你已经看见
数学负责结构，
音乐负责让结构有感觉。
它们相遇的地方，是比例变成协和、周期变成律动、集合变成和声、波形变成音色。
振动→频率→音程→音阶→和弦→音乐